- ολοκλήρωμα
- Έστω f μια πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής x, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, έστω I, με άκρα του α, β (α < β). Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι φραγμένη, δηλαδή ότι υπάρχει κάποιος k ≥ 0, έτσι ώστε να ισχύει f(x ≤ 0), για κάθε x από το I. θεωρούμε τώρα αριθμούς x1, x2..., xν-1 με x1 < x2 < ... < xν-1 από το διάστημα I και θέτουμε: α = x0, β = xν, Δxί = xi – xi-1 (για κάθε i = 1, 2, 3, ..., ν) και το μέγιστο από τους θετικούς αριθμούς Δxi, max (Δx1 Δx2,..., Δxν), τον συμβολίζουμε με λν. ΄Εστω τώρα Mi το «άνω πέρας» της f στο κλειστό διάστημα [xi-1, xi] και mi το «κάτω πέρας» της f στο ίδιο διάστημα (για κάθε i = 1, 2, 3,... ν) [το Mi είναι το άνω πέρας της f στο διάστημα [xi-1, xi] σημαίνει, από ορισμό, ότι ο Mi είναι ο ελάχιστος από τους αριθμούς Μ, για τους οποίους ισχύει f(x) ≤ M για κάθε x του διαστήματος [x--1, xi]· είναι (όπως αλλιώς λέμε) το ελάχιστο άνω φράγμα της f στο διάστημα [xi-1, xi]. Με ανάλογο τρόπο ορίζεται η έννοια: κάτω πέρας της f στο διάστημα [xi-1, xi]· είναι το μέγιστο κάτω φράγμα της f σε αυτό το διάστημα, δηλαδή ο μέγιστος από τους αριθμούς m, για τους οποίους ισχύει M ≤ F(x) για κάθε x του διαστήματος [xi-1, xi]. [Οι Mi και mi υπάρχουν, επειδή η f έχει υποτεθεί φραγμένη συνάρτηση].
Σχηματίζουμε τώρα τα εξής αθροίσματα γινομένων:
Δxi και 
.
Έτσι έχουν οριστεί οι εξής ακολουθίες πραγματικών αριθμών: λν, ν = 1,2, ...· Αν, ν = 1, 2, ...· Kν, ν = 1, 2,... Έστω τώρα ότι ισχύει λ(sub)ν(/sub) → 0 και ότι τότε οι ακολουθίες (Αν) και (Kν) συγκλίνουν προς τον αυτό πραγματικό αριθμό, έστω J: A(sub)ν(/sub) → J, K(sub)ν(/sub) →J (αυτό δεν ισχύει πάντοτε). Αυτός ο J ονομάζεται: το ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α μέχρι το β και συμβολίζεται με:
Αν στην προηγούμενη «κατασκευή» υποθέσουμε ότι είναι f(x)≥ 0 για κάθε x από το διάστημα I και δεχτούμε ότι η f έχει ως γραφική της παράσταση σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς (Σχ. 1) μια καμπύλη, όπως συνήθως την εννοούμε στη γεωμετρία, τότε η όλη κατασκευή αποκτά μια προφανή γεωμετρική σημασία, την εξής: κάθε άθροισμα Αν είναι το άθροισμα των εμβαδών των ορθογώνιων με βάσεις τους: Δx1,, Δx2 ..., Δxν (στο τμήμα του άξονα χ με άκρα του τα σημεία α, β) και ύψητους: Μ1, Μ2, ..., Mν κάθε άθροισμα Kν είναι το άθροισμα των εμβαδών των ορθογώνιων με βάσεις: Δχ1 Δχ2..., Δxν και ύψη τους: m1, m2,..., mν. Το μέρος του επίπεδου, που περικλείεται από το τμήμα αβ του άξονα χ, από τις ευθείες x = α και x = β και από την καμπύλη-γραφική παράσταση της f, «καλύπτεται» από το κάθε Αν και «καλύπτεται» το κάθε Bν. Το κοινό όριο των (Αν) και (Bν), όταν υπάρχει, είναι αυτό που, στην τρέχουσα γλώσσα, ονομάζουμε: εμβαδόν του μέρους του επίπεδου, που αναφέραμε. Έτσι το ολοκλήρωμα:
εκφράζει αυτό το «εμβαδόν». Κάθε όρος της ακολουθίας (Αν) είναι μια «άνω προσέγγιση» και κάθε όρος της ακολουθίας (Kν) είναι μια «κάτω προσέγγιση» του εμβαδού μέρους του επίπεδου, που αναφέραμε.
Με την υπόθεση ότι υπάρχει κοινό όριο, J, των ακολουθιών (Αν), (Bν), δηλαδή το αποδείκνύεται ότι το ίδιο όριο έχει και η ακολουθία αθροισμάτων, (Εν), που ορίζεται ως εξής: παίρνουμε από το κάθε διάστημα [xi-1,xi] ένα τυχόν σημείο, έστω ξί· η (Εν) ορίζεται με τον εξής τύπο
Ουσιαστικά η προηγούμενη «ιδέα» για το ολοκλήρωμα οφείλεται στον Αρχιμήδη και χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό εμβαδών, μηκών καμπύλων και όγκων («μέθοδος εξάντλησης»).
Αν η f είναι, όπως υποθέσαμε, φραγμένη συνάρτηση, αυτό δεν είναι αρκετό για να υπάρχει ολοκλήρωμα της. Στην περίπτωση, ειδικά, που η f είναι συνεχής συνάρτηση, υπάρχει
.
Αυτή δεν είναι η μόνη περίπτωση· ο Ρήμαν έχει δώσει την αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ολοκληρώματος, με την προηγούμενη έννοια· ο ενδιαφερόμενος περισσότερο μπορεί να καταφύγει σε κατάλληλη βιβλιογραφία.
Ας περιοριστούμε στην υπόθεση ότι η συνάρτηση f (x) α ≤ x ≤ β είναι συνεχής (τότε, αποδεικνύεται, ότι είναι και φραγμένη). Υπάρχει τότε το ολοκλήρωμα:
επεκτείνοντας την έννοια ορίζουμε: 
και 
δηλαδή
Έτσι, αν x0, x είναι τυχόντα σημεία από το διάστημα [α, β], έχει έννοια ο συμβολισμός: 
για το κάθε x από το [α, β]. Μ’ αυτόν τον τρόπο ορίζεται μια συνάρτηση, η εξής: 
, x ε [α, β]. Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και μάλιστα ότι παραγωγίζεται στο [α, β] με παραγωγό της την ίδια τη συνάρτηση f, δηλαδή ισχύει: 
(θεώρημα Τοριτσέλι-Μπάροου). Αυτή η νέα συνάρτηση λέμε ότι είναι μια παράγουσα ή ένα αόριστον ολοκλήρωμα της f. Έτσι η «αόριστη ολοκλήρωση» μπορεί να θεωρηθεί σαν η αντίστροφη με την παραγώγιση πράξη. Αν F (x), α ≤ x ≤ β είναι μια παράγουσα (αόριστο ολοκλήρωμα) της f, τότε κάθε άλλη δίνεται από τον τύπο: F (x)+ C και γράφουμε: 
. Αν η μεταβλητή x συμβολίζει «χρόνο» και η f (x) ταχύτητα ενός κινητού κατά τη χρονική στιγμή x, τότε το ολοκλήρωμα: συμβολίζει το διάστημα, που διάτρεξε το κινητό από τη χρονική στιγμή x0 μέχρι τη x. Στον ολοκληρωτικό λογισμό υπολογίζονται τα αόριστα ολοκληρώματα «τύπων συναρτήσεων» (και το σχετικό πίνακα μερικών αόριστων ολοκληρωμάτων), όπως των ρητών συναρτήσεων της «μεταβλητής της ολοκλήρωσης», αλλά και άλλων, μη ρητών συναρτήσεων. Σε πολλές περιπτώσεις η προς αόριστη ολοκλήρωση συνάρτηση δίνει με την ολοκλήρωση της «νέες» συναρτήσεις (ένα τέτοιο παράδειγμα είναι οι λεγόμενες: «ελλειπτικές συναρτήσεις»). Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος, που αναπτύξαμε, έχει πολλές γενικεύσεις. Έτσι, για να περιοριστούμε στις πιο στοιχειώδεις, έχουμε: ολοκληρώματα για συναρτήσεις με δύο, τρεις και περισσότερες μεταβλητές (διπλά, τριπλά, πολλαπλά). Με τα διπλά ολοκληρώματα υπολογίζουμε εμβαδά επιφανειών (γενικά στον τριδιάστατο χώρο) και με τα τριπλά όγκους στερεών, που περικλείονται από «γνωστές» επιφάνειες. Μια τέτοια μορφή στερεού παριστάνεται στο Σχ. 2. Η επιφάνεια, που τελειώνει («περατούται») το στερεό έχει, ως προς το σύστημα αναφοράς ΟΧΨΖ, εξίσωση Ζ = f(X, Ψ). Ο σημειούμενος όγκος υπολογίζεται με ένα διπλό ολοκλήρωμα, που συμβολίζεται: 
, όπου Α (Σχ. 2) είναι ο «τόπος της ολοκλήρωσης». Η έννοια ορίζεται με τρόπο ανάλογο με εκείνον, που χρησιμοποιήθηκε για τον ορισμό του απλού ολοκληρώματος: . Μια άλλη γενίκευση της έννοιας του ολοκληρώματος είναι εκείνη του επικαμπύλιου. Στο ολοκλήρωμα αυτόν τον ρόλο, που έπαιξε στο κοινό ολοκλήρωμα, που αναπτύξαμε στην αρχή, το ευθύγραμμο τμήμα αβ του άξονα x, τον παίζει ένα «τμήμα μιας καμπύλης». Η έννοια αυτή συνδέεται με την έννοια του έργου από τη μηχανική. Μια λεπτομερής ανάλυση των προηγούμενων γενικεύσεων και άλλων, που δεν αναφέρουμε εδώ, βρίσκεται πέρα από το σκοπό αυτού του εγκυκλοπαιδικού άρθρου. Ο ενδιαφερόμενος περισσότερο πρέπει να καταφύγει σε κατάλληλη βιβλιογραφία. Η λέξη: ολοκλήρωμα συναντάται και στο κεφάλαιο της μαθηματικής ανάλυσης, που ασχολείται με τη λύση («ολοκλήρωση») των διαφορικών εξισώσεων. Αν έχουμε μια διαφορική εξίσωση, τότε κάθε συνάρτηση, που την επαληθεύει, λέμε ότι είναι ένα ολοκλήρωμά της. Έτσι της διαφορικής εξίσωσης: ψ’2 = 4ψ κάθε συνάρτηση ψ (X) = (X-c)2, χεR (C = αυθ. σταθερά) είναι ένα oλοκλήρωμά της, μάλιστα ο προηγούμενος τύπος δίνει το λεγόμενο: γενικό της ολοκλήρωμα (γιατί περιέχει το κάθε ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης). Της ίδιας διαφορικής εξίσωσης η συνάρτηση ψ (x) = x2, χεR είναι ένα (όπως λέμε) μερικό ολοκλήρωμα (προκύπτει από το γενικό για την ειδική τιμή c = ο, της σταθεράς).
0 ολοκληρονράφος του Πολωνού Μπρούνο Αμπακάνοβιτς. Εαν μετακινήσουμε το κύριο φορείο Cp παράλληλα προς τον άξονα x και κινήσουμε την αιχμή p1, κατά μήκος της καμπύλης y= f(x), η αιχμή ρ2 χαράσσει την ολοκληρωματική γραμμή.
* * *το1. καθετί με το οποίο συμπληρώνεται κάτι, συμπλήρωμα, αποτελείωμα2. μαθ. συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, η οποία έχει παράγωγο μιαν άλλη συνάρτηση τής ίδιας ανεξάρτητης μεταβλητής.[ΕΤΥΜΟΛ. < ολοκληρώνω. Η λ. μαρτυρείται από το 1896 στο περιοδικό Αθηνά].
Dictionary of Greek. 2013.
